منتديات قلمي

عزيزي آلزآئر
لـَاننآ نعشق آلتميز و آلمميزين يشرفنآ آنضمآمك معنآ في منتدانـا
وحينمآ تقرر آن تبدآ معانا ينبغي عليك آن تبدآ كبيرآ .. فآلكل كبيرُُ هنآ . وحينمآ تقرر آن تبدآ في آلكتآبه معانا ..
فتذكر آن منتدآنــا‘آ يريدك مختلفآ .. تفكيرآ .. وثقآفةً .. وتذوقآ .. فآلجميع هنآ مختلفون ..
نحن ( نهذب ) آلمكآن ، حتى ( نرسم ) آلزمآن !!





عمر المنتدى 2912 يـوم ..

سجل حضورك اليوم  ::بالصللاة على النبي صلى الله عليه وسلم من هــــــنــــــــــا
قلمي>>>منتداك و من أجلك...فشاركنا برأيك لتطويره...اضغط هــنــا

    Calcul des primitives

    شاطر
    avatar
    rey
    المدير
    المدير

    بلدي : العلم المغربي
    الجنس : ذكر
    عدد المساهمات : 749
    نقاط : 1609
    تاريخ التسجيل : 01/12/2009

    Calcul des primitives

    مُساهمة من طرف rey في الأربعاء مارس 02, 2011 11:13 am


    Calcul des primitives


    Rappelons tout d'abord la définition.


    Définition 13.3.1  
    On appelle primitive d'une fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], définie sur un intervalle
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], toute fonction dérivable sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dont la dérivée
    coïncide avec [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].


    Etant données deux primitives de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], leur différence doit avoir
    une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la
    même fonction diffèrent donc par une constante.
    Pour spécifier
    une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un
    point. En général, on considère la primitive qui s'annule en un
    certain point. Elle s'écrit comme une intégrale, grâce au
    théorème suivant.


    Théorème 13.3.2  
    Soit [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] une fonction continue sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] un point de
    l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. On considère la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], qui à
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] associe :





    $\displaystyle F_c(x) = \int_c^x f(t)\,dt\;.<br />$

    Alors [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est la primitive de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] qui s'annule au point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

    Observons l'écriture

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dans laquelle les deux
    lettres [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] jouent des rôles totalement différents. La
    lettre [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désigne une borne de l'intervalle d'intégration.
    Si on la remplace par un réel, par exemple [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],
    on obtiendra un résultat réel, la valeur de la
    fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] au point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. La variable d'intégration
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est muette. On ne peut pas la remplacer par un réel. Par contre,
    n'importe quelle autre lettre (sauf [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])
    pourrait jouer le même rôle. Dans l'écriture des primitives, on
    évitera toujours de noter avec la même lettre la variable
    d'intégration et une des bornes de l'intervalle.

    Démonstration : Observons que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est définie même pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], grâce à la
    convention :





    $\displaystyle \int_c^x f(t)\,dt = -\int_x^c f(t)\,dt\;.<br />$

    Nous devons démontrer que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est dérivable et a pour
    dérivée [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Considérons pour cela son taux d'accroissement au
    point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] :





    $\displaystyle \frac{F_c(x+h)-F_c(x)}{h} =<br />\frac{1}{h}\left(\int_c^{x+h} f(t)\,dt -\int_c^x f(t)\,dt\right)<br />=\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt\;,<br />$

    par la relation de Chasles. Or d'après le théorème de la
    moyenne, cette quantité, la valeur moyenne de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur l'intervalle
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], est une des valeurs prises par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] dans l'intervalle. Or
    puisque [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est continue, quand [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tend vers 0, toutes les valeurs
    prises par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tendent vers [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] quand
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tend vers 0. Le taux d'accroissement de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tend donc
    vers [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], donc la dérivée de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Observons que n'importe quelle primitive peut être utilisée pour
    calculer une intégrale :





    $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F_a(b) = F_c(b)-F_c(a)\;,<br />$

    par la relation de Chasles. L'intégrale de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est donc un
    accroissement d'une primitive, qui ne dépend pas de la primitive
    choisie. On note :





    $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F_c(b)-F_c(a) = \Big[ F_c(x) \Big]_a^b\;,<br />$



    Il est commode, en particulier pour les changements de variable, de
    conserver des bornes d'intégration, même quand on calcule des
    primitives. C'est pourquoi nous continuerons de noter


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] la primitive de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] qui s'annule en
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], même s'il est superflu de fixer [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. De notre point de vue, il
    n'y a donc aucune différence entre les calculs de primitives et les
    calculs d'intégrales. Il est courant d'exprimer les primitives des
    fonctions usuelles "à une constante près''. Par exemple, les
    primitives de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sont toutes les fonctions de la forme
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], où [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une constante réelle. Nous écrirons :





    $\displaystyle \int_c^x \cos(t)\,dt = \Big[\,\sin(t)\,\Big]_c^x = \sin(x)-\sin(c) =<br />\sin(x)+C\;.<br />$

    Or quand [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] parcourt

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne prend que les valeurs
    comprises entre [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], tandis que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désigne une constante
    réelle quelconque. En pratique, il suffit de trouver une primitive
    particulière : la variable [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne sera
    qu'un artifice d'écriture. Nous supposerons toujours que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    sont telles que la fonction soit définie et continue sur
    l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Par exemple :





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{t-1}\,dt = \Big[ \ln(\vert t-1\vert)\Big]_c^x =<br />\ln(\vert x-1\vert)+C\;,<br />$

    ce qui suppose que l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne contient pas [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].


    En pratique, pour calculer une primitive d'une fonction donnée, on
    la ramène à un catalogue de primitives usuelles. Ces
    primitives, que l'on doit connaître, sont rassemblées dans le
    tableau ci-dessous. Attention : les intervalles de
    définition ne sont pas précisés.










































    Fonction Une primitive


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    $ \displaystyle{\ln\left(x +<br />\sqrt{x^2+1}\right)}$


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]








    Comme nous l'avons déjà vu, toute fonction continue admet une
    primitive. La question du calcul de cette primitive recouvre en fait
    deux problèmes très différents. Le premièr est celui
    du calcul numérique d'une ou plusieurs de ses
    valeurs, qui par nature sera une approximation
    (l'ordinateur ne peut donner que des résultats décimaux). Nous
    avons vu que les sommes de Riemann permettent de répondre à cette
    question. Elles ne sont pas utilisées en pratique : il
    existe d'autres méthodes numériques, qui pour des
    temps de calcul plus faibles donnent des résultats plus
    précis. L'autre problème est celui du calcul
    formel
    , qui consiste à trouver une expression d'une primitive à
    l'aide de fonctions connues.
    Considérons par exemple les fonctions suivantes.
    Ont-elles une primitive que l'on peut calculer ?



    1. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    2. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    La réponse est oui pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dont une primitive est


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dans la mesure où on considère
    que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une fonction connue.
    C'est non pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sauf si on définit la fonction
    logarithme intégral que l'on note li :





       li$\displaystyle (x) = \int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln t}\;.<br />$

    Au cours du temps, de nombreuses fonctions sont ainsi apparues, et
    sont désormais intégrées aux logiciels de calcul formel. Une des
    plus connues est la fonction

    erf (pour "error function''), très
    utilisée en statistiques, qui est définie comme suit.





       erf$\displaystyle (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt\;.<br />$


    Observons qu'au moment de calculer numériquement une intégrale
    particulière, un logiciel de calcul formel utilisera toujours un
    algorithme d'approximation. Même les fonctions les plus courantes,
    comme [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], sont calculées par des
    algorithmes d'approximation.


    Nous rappelons dans la section suivante les techniques de base pour le
    calcul (formel) des intégrales, lorsqu'elles peuvent s'exprimer à
    l'aide des fonctions classiques.






    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

      مواضيع مماثلة

      -

      الوقت/التاريخ الآن هو الثلاثاء نوفمبر 21, 2017 8:28 am