منتديات قلمي

عزيزي آلزآئر
لـَاننآ نعشق آلتميز و آلمميزين يشرفنآ آنضمآمك معنآ في منتدانـا
وحينمآ تقرر آن تبدآ معانا ينبغي عليك آن تبدآ كبيرآ .. فآلكل كبيرُُ هنآ . وحينمآ تقرر آن تبدآ في آلكتآبه معانا ..
فتذكر آن منتدآنــا‘آ يريدك مختلفآ .. تفكيرآ .. وثقآفةً .. وتذوقآ .. فآلجميع هنآ مختلفون ..
نحن ( نهذب ) آلمكآن ، حتى ( نرسم ) آلزمآن !!





عمر المنتدى 2912 يـوم ..

سجل حضورك اليوم  ::بالصللاة على النبي صلى الله عليه وسلم من هــــــنــــــــــا
قلمي>>>منتداك و من أجلك...فشاركنا برأيك لتطويره...اضغط هــنــا

    Techniques de calcul des primitives

    شاطر
    avatar
    rey
    المدير
    المدير

    بلدي : العلم المغربي
    الجنس : ذكر
    عدد المساهمات : 749
    نقاط : 1609
    تاريخ التسجيل : 01/12/2009

    Techniques de calcul des primitives

    مُساهمة من طرف rey في الأربعاء مارس 02, 2011 11:34 am







    Techniques de calcul des primitives


    La première technique de calcul consiste à utiliser la
    linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme
    d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes.





    $\displaystyle \int_c^x (t^3+2t^2+4t+2)\,dt =<br />\frac{1}{4}x^4 +\frac{2}{3}x^3+2x^2+2x +C\;.<br />$

    On peut aussi intégrer
    des polynômes en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], ou
    bien [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. On utilise pour cela les
    formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle
    ou complexe).













    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    Le principe est le suivant : tout polynôme en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    est une combinaison linéaire de termes de la forme

    $ \sin^n x\cos^m<br />x$, qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes
    comme combinaisons linéaires de termes en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],
    dont on connaît une primitive. Voici un exemple.



































    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \frac{1}{1024} (e^{8ix} - 4e^{4ix} + 6 - 4e^{-4ix} + e^{-8ix})<br />(e^{2ix} +2 + e^{-2ix})$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
      [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
      [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \frac{1}{512} (6 +2 \cos{2x} - 8 \cos {4x} - 3\cos {6x}<br />- 2\cos {8x}+ \cos {10x})$
     



    D'où une primitive de

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] :





    $\displaystyle \frac{3x}{256} + \frac{\sin 2x}{512}<br />- \frac{\sin 4x}{256} - \frac{\sin 6x}{1024} + \frac{\sin 8x}{2048} +<br />\frac{\sin 10x}{5120}\;.<br />$


    Observons que les questions de parité permettent de prévoir a
    priori que la linéarisation ne contiendra que des [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. En
    effet, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une fonction impaire et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] une fonction
    paire. Donc si on remplace [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],

    $ \sin^n x\cos^m<br />x$ sera
    inchangé si [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est impair, changé en son opposé si [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est
    impair. Dans le premier cas, la linéarisation ne contiendra que des
    cosinus, dans le second cas, elle ne contiendra que des sinus.
    La même technique s'utilise aussi pour les cosinus et sinus
    hyperboliques.


    Comme autre application de l'exponentielle complexe, signalons la
    possibilité d'intégrer des expressions du type


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ou

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], en les
    exprimant comme parties réelles ou imaginaires d'exponentielles
    complexes, que l'on peut intégrer formellement comme des
    exponentielles réelles. Voici un exemple.





    $\displaystyle e^{3x}\cos(2x) = Re(\exp((3+2i)x)).<br />$

    Or une primitive (formelle) de

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est :





    $\displaystyle \frac{1}{3+2i}\exp((3+2i)x) = \frac{3-2i}{13}e^{3x}(\cos(2x)+i\sin(2x))\;.<br />$

    La partie réelle de cette expression est :





    $\displaystyle \frac{1}{13}e^{3x}(3\cos(2x)+2\sin(2x))\;,<br />$

    qui est donc une primitive de

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].





    $\displaystyle \int_c^x e^{3t}\cos(2t)\,dt =<br />\frac{1}{13}e^{3x}(3\cos(2x)+2\sin(2x)) + C\;.<br />$


    La seconde technique de calcul à connaître est l'intégration
    par parties :





    $\displaystyle \int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\, dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b}<br />- \int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\, dx\;.<br />$


    Il faut penser à une intégration par parties quand l'un des
    facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple,
    essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    (dérivée

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]), [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (dérivée


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]) ou [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    (dérivée

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]). Encore faut-il connaître une
    primitive de l'autre facteur. Par exemple :





    $\displaystyle \int_c^x t\,e^{\lambda t}\,dt = \Big[ t\cdot<br />\frac{1}{\lambda}e^{...<br />...<br />= \frac{1}{\lambda} x e^{\lambda x}<br />-\frac{1}{\lambda^2} e^{\lambda x} +C\;.<br />$











    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




    La technique de calcul d'intégrales (ou de primitives)
    la plus importante est le changement de variable.


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]  
    Soit [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] une fonction continue sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] une fonction
    dérivable, de dérivée continue sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et monotone
    (la dérivée [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne s'annule pas). Alors :





    $\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt =<br />\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(\phi^{-1}(u))\,(\phi^{-1})'(u)\,du\;.<br />$


    Il est fortement déconseillé de retenir la formule par
    coeur.
    Un changement de variable doit se penser de la manière
    suivante.

    1. Je souhaite remplacer [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
    2. J'exprime [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] :

      [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (je m'assure
      que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est bien une bijection).
    3. J'exprime [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en dérivant
      l'expression de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] :

      [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
    4. J'ajuste les bornes de l'intervalle d'intégration : si [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
      varie de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] à [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], alors [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] varie de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] à
      [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. (Cet ajustement des bornes est la raison pour laquelle il
      est conseillé de calculer une primitive comme une intégrale de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
      à [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]).
    5. Je remplace [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] par leurs valeurs en fonction de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].


    Comme exemple, nous allons traiter trois primitives d'un type
    fréquent, comportant la racine carrée d'un trinôme.
    Voici la première.





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 + 2t +5}}\,dt\;.<br />$


    Notons que la fonction à intégrer est définie sur

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tout entier.
    La première étape consiste à mettre le trinôme sous forme
    canonique, de manière à faire apparaître l'une des trois expressions


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ou

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Nous sommes ici
    dans le premier cas.





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 + 2t +5}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{1}{\s...<br />...+4}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{t + 1}{2})^2 +1}}\,dt\;.<br />$


    Nous devons donc poser :





    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]   soit[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]   et$\displaystyle \quad dt=2du\;.<br />$

    On obtient :































    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \int_{\frac{c+1}{2}}^{\frac{x+1}{2}}\frac{1}{2}<br />\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\,2du$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \int_{\frac{c+1}{2}}^{\frac{x+1}{2}}<br />\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\,du$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     




    Voici une situation proche, mais qui du fait des signes
    rencontrés dans le trinôme, conduit à des résultats différents.





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2t - 3}}\,dt\;.<br />$

    La fonction à intégrer est définie sur


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Nous devons donc supposer que
    l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est soit inclus dans

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], soit dans


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
    La mise du trinôme sous forme canonique donne :





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2t -3}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{1}{\s...<br />... -4}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{t - 1}{2})^2-1}}\,dt\;.<br />$

    Nous devons donc poser :





    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]   soit[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]   et$\displaystyle \quad dt=2du\;.<br />$

    On obtient :































    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}\frac{1}{2}<br />\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\,2du$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}<br />\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\,du$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     




    Comme prévu, les primitives ne sont définies que pour
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ou [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Remarquez que le signe de


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] dépend de l'intervalle sur lequel on se
    trouve : il est négatif sur

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], positif sur


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].


    Voici le dernier cas que l'on peut rencontrer selon le signe du trinôme.





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{\sqrt{-t^2 + 2t + 3}}\,dt\;.<br />$


    La fonction à intégrer n'est définie que sur l'intervalle


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Nous devons donc supposer que l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est
    inclus dans [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
    La mise du trinôme sous forme canonique donne :





    $\displaystyle \int_c^x \frac{1}{\sqrt{-t^2 + 2t +3}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{1}{\...<br />... +4}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{t - 1}{2})^2}}\,dt\;.<br />$

    Nous devons donc poser :





    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]   soit[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]   et$\displaystyle \quad dt=2du\;.<br />$

    On obtient :























    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}\frac{1}{2}<br />\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,2du$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]$\displaystyle \int_{\frac{c-1}{2}}^{\frac{x-1}{2}}<br />\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du$
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     
     [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
     




    Comme prévu, les primitives ne seront définies que pour


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
    Nous verrons plus loin d'autres applications classiques des changements
    de variable. Il n'est pas toujours facile de deviner le bon changement
    de variable. Pour cela, il faut se laisser guider
    par l'expression de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] : si elle contient une
    fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et sa dérivée [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], il pourra être
    judicieux de poser [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Dans le cas le plus favorable, la
    fonction se met sous la forme

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],
    qui est la dérivée de

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Il suffira donc de connaître une primitive de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Ceci ne relève pas directement du
    théorème [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط],
    et s'applique d'ailleurs même si
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] n'est pas monotone. Voici
    un exemple, avec

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], et

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].





    $\displaystyle \int_c^x \frac{2t}{1+e^{-t^2}}\,dt =<br />\int_c^x \frac{2te^{t^2}}{e^{t^2}+1}\,dt=<br />\Big[\ln(1+e^{t^2})\Big]_c^x\;.<br />$



    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

      مواضيع مماثلة

      -

      الوقت/التاريخ الآن هو الثلاثاء نوفمبر 21, 2017 8:26 am