Calcul des primitives

rey: المدير; بلدي :
الجنس :
عدد المساهمات : 749
نقاط : 1609
تاريخ التسجيل : 01/12/2009

مساهمة رقم 1

Calcul des primitives

من طرف rey الأربعاء مارس 02, 2011 11:13 am

Calcul des primitives

Rappelons tout d'abord la définition.

Définition 13.3.1
On appelle primitive d'une fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], définie sur un intervalle
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], toute fonction dérivable sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dont la dérivée
coïncide avec [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

Etant données deux primitives de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], leur différence doit avoir
une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la
même fonction diffèrent donc par une constante.
Pour spécifier
une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un
point. En général, on considère la primitive qui s'annule en un
certain point. Elle s'écrit comme une intégrale, grâce au
théorème suivant.

Théorème 13.3.2
Soit [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] une fonction continue sur [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] un point de
l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. On considère la fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], qui à
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] associe :

$\displaystyle F_c(x) = \int_c^x f(t)\,dt\;. $

Alors [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est la primitive de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] qui s'annule au point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

Observons l'écriture

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dans laquelle les deux
lettres [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] jouent des rôles totalement différents. La
lettre [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désigne une borne de l'intervalle d'intégration.
Si on la remplace par un réel, par exemple [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],
on obtiendra un résultat réel, la valeur de la
fonction [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] au point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. La variable d'intégration
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est muette. On ne peut pas la remplacer par un réel. Par contre,
n'importe quelle autre lettre (sauf [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])
pourrait jouer le même rôle. Dans l'écriture des primitives, on
évitera toujours de noter avec la même lettre la variable
d'intégration et une des bornes de l'intervalle.

Démonstration : Observons que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est définie même pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], grâce à la
convention :

$\displaystyle \int_c^x f(t)\,dt = -\int_x^c f(t)\,dt\;. $

Nous devons démontrer que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est dérivable et a pour
dérivée [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Considérons pour cela son taux d'accroissement au
point [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] :

$\displaystyle \frac{F_c(x+h)-F_c(x)}{h} = \frac{1}{h}\left(\int_c^{x+h} f(t)\,dt -\int_c^x f(t)\,dt\right) =\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt\;, $

par la relation de Chasles. Or d'après le théorème de la
moyenne, cette quantité, la valeur moyenne de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur l'intervalle
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], est une des valeurs prises par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] dans l'intervalle. Or
puisque [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est continue, quand [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tend vers 0, toutes les valeurs
prises par [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sur l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tendent vers [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] quand
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tend vers 0. Le taux d'accroissement de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] tend donc
vers [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], donc la dérivée de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] en [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

Observons que n'importe quelle primitive peut être utilisée pour
calculer une intégrale :

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F_a(b) = F_c(b)-F_c(a)\;, $

par la relation de Chasles. L'intégrale de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est donc un
accroissement d'une primitive, qui ne dépend pas de la primitive
choisie. On note :

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F_c(b)-F_c(a) = \Big[ F_c(x) \Big]_a^b\;, $

Il est commode, en particulier pour les changements de variable, de
conserver des bornes d'intégration, même quand on calcule des
primitives. C'est pourquoi nous continuerons de noter

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] la primitive de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] qui s'annule en
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], même s'il est superflu de fixer [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. De notre point de vue, il
n'y a donc aucune différence entre les calculs de primitives et les
calculs d'intégrales. Il est courant d'exprimer les primitives des
fonctions usuelles "à une constante près''. Par exemple, les
primitives de [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sont toutes les fonctions de la forme
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], où [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une constante réelle. Nous écrirons :

$\displaystyle \int_c^x \cos(t)\,dt = \Big[\,\sin(t)\,\Big]_c^x = \sin(x)-\sin(c) = \sin(x)+C\;. $

Or quand [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] parcourt

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne prend que les valeurs
comprises entre [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], tandis que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] désigne une constante
réelle quelconque. En pratique, il suffit de trouver une primitive
particulière : la variable [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne sera
qu'un artifice d'écriture. Nous supposerons toujours que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] et [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
sont telles que la fonction soit définie et continue sur
l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Par exemple :

$\displaystyle \int_c^x \frac{1}{t-1}\,dt = \Big[ \ln(\vert t-1\vert)\Big]_c^x = \ln(\vert x-1\vert)+C\;, $

ce qui suppose que l'intervalle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ne contient pas [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

En pratique, pour calculer une primitive d'une fonction donnée, on
la ramène à un catalogue de primitives usuelles. Ces
primitives, que l'on doit connaître, sont rassemblées dans le
tableau ci-dessous. Attention : les intervalles de
définition ne sont pas précisés.

Fonction	Une primitive
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة])	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]	$\displaystyle{\ln\left(x +<br />\sqrt{x^2+1}\right)}$
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]	[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

Comme nous l'avons déjà vu, toute fonction continue admet une
primitive. La question du calcul de cette primitive recouvre en fait
deux problèmes très différents. Le premièr est celui
du calcul numérique d'une ou plusieurs de ses
valeurs, qui par nature sera une approximation
(l'ordinateur ne peut donner que des résultats décimaux). Nous
avons vu que les sommes de Riemann permettent de répondre à cette
question. Elles ne sont pas utilisées en pratique : il
existe d'autres méthodes numériques, qui pour des
temps de calcul plus faibles donnent des résultats plus
précis. L'autre problème est celui du calcul
formel, qui consiste à trouver une expression d'une primitive à
l'aide de fonctions connues.
Considérons par exemple les fonctions suivantes.
Ont-elles une primitive que l'on peut calculer ?

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

La réponse est oui pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dont une primitive est

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], dans la mesure où on considère
que [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] est une fonction connue.
C'est non pour [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] sauf si on définit la fonction
logarithme intégral que l'on note li :

li $\displaystyle (x) = \int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln t}\;. $

Au cours du temps, de nombreuses fonctions sont ainsi apparues, et
sont désormais intégrées aux logiciels de calcul formel. Une des
plus connues est la fonction

erf (pour "error function''), très
utilisée en statistiques, qui est définie comme suit.

erf $\displaystyle (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt\;. $

Observons qu'au moment de calculer numériquement une intégrale
particulière, un logiciel de calcul formel utilisera toujours un
algorithme d'approximation. Même les fonctions les plus courantes,
comme [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], sont calculées par des
algorithmes d'approximation.

Nous rappelons dans la section suivante les techniques de base pour le
calcul (formel) des intégrales, lorsqu'elles peuvent s'exprimer à
l'aide des fonctions classiques.

مواضيع مماثلة

» Techniques de calcul des primitives

منتديات قلمي

منتديات قلمي

منتديات قلمي

Calcul des primitives

Calcul des primitives

Calcul des primitives

مواضيع مماثلة

مواضيع مماثلة